Standardní prezentace „koordinace roviny“ v britských učebnicích geometrie (Salmon, Smith, Besant a mnoho dalších) v 19. století bere rovinu jako přísně (v té době) axiomatizovanou Euklidovými axiomy a stanovením bijekce mezi rovinou a $ \ mathbf {R} ^ {2} $ výběrem bodu $ O $, dvěma odlišnými liniemi procházejícími schůzkou $ O $ v pravých úhlech a vhodnou délkou jednotky. Libovolný bod roviny $ P $ lze poté přiřadit projekcí k dvojici reálných čísel $ (a, b) \ in \ mathbf {R} ^ {2} $.

Ale ke konci 19. století již bylo ve vzduchu několik odlišných konstrukcí $ \ mathbf {R} $, objevených (hlavně) kontinentálními matematiky. Rozsáhlá práce Cantora o teorii „bodových sad“, stejně jako práce topologů o dimenzi $ \ mathbf {R} ^ {n} $ později z $ \ mathbf {R} ^ {2} $ „standardní definice roviny“ a „syntetická rovina“ daná axiomy padla na vedlejší kolej.

Situace tehdy byla úplně opačná, než jak nyní děláme věci: čáry, roviny, úhly atd. byly považovány za přísněji stanovené a důvěryhodnější než reálná čísla. Skutečná čísla byla tedy považována pouze za „nástroj“ ke studiu geometrických jevů. V dnešní době považujeme za samozřejmé, že $ \ mathbf {R} ^ {2} $ je „euklidovská rovina“ a v diferenciální geometrii a topologii, když mluvíme o „euklidovském prostoru“, máme na mysli opravdu $ \ mathbf {R} ^ {n} $. Moderní způsob studia euklidovského prostoru může být také matoucí: například v mnohočetné teorii lze $ \ mathbf {R} ^ {2} $ koordinovat mnoha různými způsoby různými atlasy, což znamená, že bychom si to měli představit jako být „bezvýznamný“ před zavedením souřadnicových čar, ale lidé obvykle mluví o $ \ mathbf {R} ^ {2} $ jako o souřadnicové rovině, což věci trochu zmatilo. Starší protějšek poskytující různé atlasy $ \ mathbf {R} ^ {2} $ lze považovat za proces, který jsem popsal v prvním odstavci výše.

Příběh, který jsem navrhl v předchozím odstavci, je bohužel pouze nejasným náčrtem toho, jak se věci vyvíjely; Nečetl jsem správné popisy toho, proč a kdy matematici úplně přešli na použití $ \ mathbf {R} ^ {2} $ jako formalizace „nekonečně tenké ploché roviny“ naší intuice, a nikoli objektu definovaného axiomy. Zajímalo by mě více.