Jedna odpověď je, že Gaussovy součty jsou speciální případy Lagrangeových resolventů; to jsou zase výrazy, které Lagrange použil pro analýzu řešení rovnic radikály.

Dalším zdrojem jsou Eulerova a Lagrangeova faktorizace cyklotomických rovnic $ 4 (x ^ p-1) / (x-1) $ ve tvaru $ Y ^ 2 - p ^ * Z ^ 2 $, kde $ p ^ * = (-1) ^ {\ frac {p-1} 2} p $, pro $ p = 3, 5, 7 $ v souvislosti s problémy ve zvláštních případech kvadratického zákona o vzájemnosti. Oba nebyli schopni najít faktorizaci pro $ p = 11 $, ale Gauss si uvědomil, že kořeny lineárních faktorů kvadratických polynomů jsou kořeny jednoty $ \ zeta ^ r $, respektive $ \ zeta ^ s $, kde $ r $ a $ n $ označují kvadratické zbytky a zbytky modulo $ p $. Jakmile začnete psát polynomy $ (X - \ zeta) (X- \ zeta ^ 4) (X- \ zeta ^ 9) \ cdots $ a podíváte se na koeficient druhé největší moci $ X $, zjistíte kvadratické Gaussovy částky.

Může někdo shrnout, co motivovalo tyto zdánlivě svévolné výrazy?

Jsou daleko od svévolnosti.

Protože kvadratická reciprocita jde o to, zda prime $ p $ je druhou mocninou jiného prů $ q $, je přirozené hledat skutečnou druhou odmocninu, když je (myšlenka, kterou Euler již znal). Použití kvadratických Gaussových součtů spočívá v konstrukci požadované druhé odmocniny (ale možná v konečném rozšíření). S ohledem na tento výslovný cíl není ve skutečnosti tak těžké vidět vzorce, které se objevují při provádění výpočtů, zvláště pokud jste dlouho a tvrdě přemýšleli o Legendrových symbolech, ai když předem neznáte odpověď. Někdy jsem studenty požádal, aby je uhádli, a oni uspěli (příležitostně).

Ale i když studenti neznají výsledek, mají obrovskou výhodu: hádání provádějí v kurzu konečné rozšíření konečných polí nebo algebraická teorie čísel. Tato myšlenka, tj. myšlenka hledat druhou odmocninu v příponách (celých čísel nebo konečných polí) a studovat chování prvočísel v těchto příponách, byla naprosto průkopnická.