Tato otázka nemá definitivní odpověď, protože lidé operovali s náhodnými proměnnými dlouho předtím, než byla dána jakákoli přísná definice.

Teorie pravděpodobnosti začíná v 16. století, ne-li dříve. Cardano o tom napsal například knihu. V roce 1773 napsal de Moivre důležitou knihu, kde v podstatě představil hlavní metodu moderní pravděpodobnosti (harmonická analýza). To hodně vyvinul Laplace. Důležitý vývoj nastal v 19. století (například Čebyšev). Všichni tito lidé mluvili o náhodných proměnných, aniž by poskytli přesnou definici. Mám na mysli „přesnou definici“ z pohledu moderního matematika, který rozumí pouze definicím uvedeným v teorii množin. Samozřejmě ještě neexistovala žádná teorie množin.

Na počátku 20. století byla pravděpodobnost vysoce rozvinutou teorií s podstatnými aplikacemi ve fyzice (například Brownův pohyb). Na začátku 20. století již existovaly všechny základní aplikace pravděpodobnosti, včetně statistické mechaniky, finanční matematiky a samozřejmě statistik.

Byly zahájeny pokusy o zavedení přísného odůvodnění v duchu nově vyvinuté teorie množin ve druhém desetiletí 20. století. Jeden časný systém axiomů byl způsoben S. Bernsteinem, další J. Schauderem. Ještě další systém nadací byl způsoben von Misesem.

Kolmogorovův systém byl publikován v roce 1933. Postupně (ne okamžitě!) Jej převzal.

Chcete-li odpovědět na vaši další otázku, ne toto nelze srovnávat s Euklidem. Euclid poskytl systematickou a komplexní expozici veškeré matematiky, která v té době existovala. Kolmogorovova kniha je maličká brožura, kde navrhuje pouze nový systém axiomů, což dokazuje několik velmi obecných vět. Je to malá výzkumná monografie, ne expozice známých věcí.

Poznámka. Díky modernímu vzdělávacímu systému si mnoho mladých matematiků myslí, že před Kolmogorovem neexistovala teorie pravděpodobnosti a před Grothendieckem žádná algebraická geometrie. Rozvíjením tohoto principu o krok dále lze říci, že před Cantorem nebyla žádná matematika :-) Protože veškerá moderní matematika je založena na teorii množin.

Pokud jde o notaci $ \ text {Pr} (| \ xi | > \ varepsilon) $ zde jsem zatím našel:

Cajori v roce 1929 Historie matematických notací neříká nic o teorii pravděpodobnosti, což naznačuje, že předmět na počátku 20. století ještě nevyvinul žádnou speciální nebo široce přijímanou notaci. Zdá se, že to podporuje Jeff Miller, který píše:

Symboly pro pravděpodobnost události $ A $ na vzoru $ P (A) $ nebo $ Pr (A) $ jsou relativně nedávný vývoj vzhledem k tomu, že pravděpodobnost byla studována po celá staletí. Grundbegriffe derWahrscheinlichkeitsrechnung (1933) A. N. Kolmogorova použil symbol $ \ mathbf {P} (A) $ . Použití velkých písmen pro události bylo převzato z teorie množin, kde se vztahovalo k množinám. Náhodné proměnné a rozdělení pravděpodobnosti (1937), H. Cramér, „první moderní kniha o pravděpodobnosti v angličtině“, používá $ P (A) $ . Ve stejném roce napsal JV Uspensky ( Úvod do matematické pravděpodobnosti ) jednoduše $ (A) $ , následoval AA Markov Wahrscheinlichkeitsrechnung (1912, s. 179). Vliv W. Fellera AnIntroduction to Probability Theory and its Applications volume 1 (1950) používá $ Pr \ {A \} $ a $ \ mathbf {P} \ {A \} $ v pozdějších vydáních.

Ale ponoření trochu hlouběji najde několik dřívějších zdrojů.

Než nějaké uvedu, dovolte mi poznamenat, že mi připadá Millerovo tvrzení, že velká písmena pro události byly převzaty z teorie množin, docela pochybné, vzhledem k tomu, že již Bayes v Eseji k řešení problému v nauce o šancích ( 1763) použil pro událost velká písmena $ M $ .

Dále mi dovolte citovat Markova z jeho Wahrscheinlichkeitsrechnung (1912) str. 14-15 (můj překlad):

Nepovažujeme za nadbytečné vyjadřovat větu o násobení pravděpodobností pomocí vzorce $$ (AB) = (A) (B, A) = (B) (A, B), $$ kde $ (AB) $ označuje pravděpodobnost současného výskytu obou událostí $ A $ a $ B $ , $ (A) $ a $ (B) $ označují pravděpodobnosti událostí $ A $ a $ B $ , $ (B, A) $ span > označuje pravděpodobnost události $ B $ , když je $ A $ známo, a $ (A, B) $ označuje pravděpodobnost události $ A $ , když $ B $ je znám došlo.

Nemám přístup k jeho prvnímu ruskému vydání ( Исчисление вероятностей 1900), ale Poincaré ve svém Calcul des probabilités ( 1896) str. 37 používal téměř stejnou notaci jako Markov.

Pravděpodobnost, že dojde $ A $ i $ B $ , se rovná pravděpodobnost $ B $ , vynásobená pravděpodobností $ A $ , kdy víme, že došlo k $ B $ .

Nebo se naopak rovná pravděpodobnosti, že $ A $ , vynásobený pravděpodobností, že $ B $ nastane, za předpokladu $ A $ by se měl objevit. $$ (A \ text {and} B) = (B) (A \ text {si} B) = (A) (B \ text {si} A). $$

Je zajímavé, že na rozdíl od Markova Poincaré neposkytuje explicitní definici notace $ (A) $ . Místo toho jej vyvine z podoby štítků na rovnice o několik stránek dříve, na matematické objekty, které se mohou v rovnicích objevit.

Pro zápis, který je blíže $ \ text {Pr} (A) $ , zdá se, že tu hrál roli Hausdorff a jeho otec otec Bruns. Bruns ve své Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre ( 1906) píše $ \ mathfrak {W} (E) $ pro pravděpodobnost události $ E $ ( $ \ mathfrak {W} $ ve zkratce Wahrscheinlichkeit ). Kniha je založena na přednáškách, které Bruns přednášel každé dva roky od začátku 80. let na univerzitě v Lipsku. Hausdorff se těchto přednášek zúčastnil v roce 1890 a stenografoval je (ale k Hausdorffovým poznámkám nemám přístup).

V roce 1900/01 Hausdorff sám přednášel o teorii pravděpodobnosti a ve svých příspěvcích k výpočtu pravděpodobnosti zavedl notaci $ p_F (E) $ pro podmíněnou pravděpodobnost. em> (1901):

Pokud během pokusu $ E $ rozhodne, zda k události dojde, či nikoli, číslo z vůbec příznivých rovných případů se dělí počtem vůbec možných stejných případů, pravděpodobnost $ E $ span> par excellence, absolutní pravděpodobnost $ p (E) $ . Pokud se naopak mezi příznivé a možné případy, které způsobí určitou další událost $ F $ , počítají pouze ty případy, pak relativní pravděpodobnost $ E $ za předpokladu, že je realizováno $ F $ , což je termín, pro který je pravopisná $ p_F (E) $ a zhruba relativní pravděpodobnost $ E $ , posito Doporučil bych $ F $ .

Můj překlad:

Pokud při pokusu o rozhodování o výskytu nebo nepřítomnosti události $ E $ je počet příznivých a stejně pravděpodobných případů vydělen počtem všech možných a stejně pravděpodobné případy se objeví pravděpodobnost řádného $ E $ , absolutní pravděpodobnost $ p (E) $ . Pokud se naopak mezi příznivými a možnými případy počítají pouze ty, které vyvolávají další určenou událost $ F $ , pak relativní pravděpodobnost $ E $ za podmínky, že je realizováno $ F $ , což je koncept, pro který je notace $ p_F (E) $ a řeč relativní pravděpodobnost $ E $ , posito $ F $ může být doporučeno.

K tomuto článku je v Felix Hausdorff, Gesammelte Werke, skupina V ( 2005). Purkert zde vysvětluje, že tím Hausdorff ovlivnil několik autorů.

Například Bruns v poznámce ke své knize z roku 1906 píše, že Bayesova věta je jednoduchým důsledkem čistě aritmetických vět, pokud zavedeme pojem podmíněná „pravděpodobnost jako u Hausdorffa. (Ale nevím, jestli Brunsův $ \ mathfrak {W} (E) $ byl inspirován Hausdorffovým $ p (E) $ nebo pokud ji Bruns už používal před rokem 1900.)

Czuber, který je autorem článku o teorii pravděpodobnosti v Kleinově Encyklopedii matematiky ( 1900) a v knize Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lehensversicherung ( 1903) přijal Hausdorffovu notaci ve druhém přepracovaném vydání své knihy ( 1908) a napsal $ \ mathfrak {W} $ jako Bruns, místo Hausdroffova $ p $ . Czuber uznává Hausdorffa v poznámce pod čarou na str. 45 pro uvedení jasnosti do předmětu s touto notací. Broggi také přijal Hausdorffovu notaci v Versicherungsmathematik (1911) ( Matematica attuariale ).

V pozdějších Hausdorffových přednáškách Wahrscheinlichkeitsrechnung ( 1923, 1931, Gesammelte Werke Band V str. 595) lze také najít definici náhodné proměnné s konečně mnoha hodnotami a (první?) Použití nerovnosti pro označení události.

Tam používá notace $ w (A) $ namísto $ p (A) $ a zápisy (str. 608 Gesammelete Werke Band V, můj překlad)

Nechť $ A_1, A_2, \ ldots, A_m $ být úplnou disjunkcí, $ w (A_i) = p_i, \ sum p_1 = 1 $ . Představte si, že ke každému případu je $ A_i $ přiřazeno skutečné číslo $ x_i $ (například číslo $ i $ ). Pokud $ p_i $ jsou $ > 0 $ a $ x_i $ se navzájem liší a $ x $ označuje jeden z nich, potom voláme $ x $ proměnná , která může nabývat hodnot $ x_1, \ ldots, x_m $ ; pouze zde je ve srovnání s běžným používáním jazyka proměnná zpřesněna tím, že může předpokládat každou hodnotu $ x_i $ s určitou pravděpodobností $ p_i $ . Ztělesnění [Innbegriff] $ p_i, x_i $ nazýváme distribucí proměnného $ x $ .

Taková rozdělení hrají hlavní roli v aplikacích počtu pravděpodobností.

Bezprostředně poté definuje očekávanou hodnotu a $ k $ -tý okamžik $ \ mu_k $ proměnné $ x $ span > a na další stránce píše

Je-li $ t $ kladné číslo a součet $ \ overset {*} {\ sum} $ běží pouze nad těmi $ i $ s $ | x_i | \ geq t $ , poté pro $ k = 2,4, \ ldots $ $$ \ mu_k = \ sum p_i x ^ k_i \ geq \ overset {*} {\ sum} p_i x ^ k_i \ geq t ^ k \ cdot \ overset {*} {\ sum} p_i, $$ $$ \ overset {*} {\ sum} p_i \ leq \ dfrac {\ mu_k} {t ^ k} $$ nebo se zjevnou notací $ $ w (| x | \ geq t) \ leq \ dfrac {\ mu_k} {t ^ k}, \ quad w (| x | < t) \ geq 1 - \ dfrac {\ mu_k} {t ^ k} \; (\ text {Tschebyscheff}) $$

Hledal jsem v článku Todhunter Historie matematické teorie pravděpodobnosti ( 1865) a v Czuberově encyklopedii ( 1900) dokonce dřívější použití notací jako $ p (A), P (A), Pr (A) $ , ale žádné se nepodařilo najít. Použití velkého / malého písmene $ P $ k vyjádření pravděpodobnosti je samozřejmě mnohem starší než 1900. Například Laplace to často používá. Ale z moderního hlediska je třeba $ p $ Laplaceova a dřívějších matematiků chápat jako číslo mezi 0 a 1, zatímco $ p $ zavedené společností Hausdorff nebo závorky používané společností Poincare a Markov lze považovat za operátory, kteří přijímají události jako vstupy a čísla výnosů mezi 0 a 1 jako výstupy.

Co mám Nehledalo se na první použití notace $ P (A | B) $ pro podmíněné pravděpodobnosti. Související otázka je https://mathoverflow.net/q/163582/745.

Říkáte, že „v Cardanu, de Moivre nebo Laplaceovi nejsou žádné náhodné proměnné“, ale alespoň v Laplaceovi existují. Ne ve smyslu map ze vzorového prostoru do měřitelného prostoru, ale v intuitivním smyslu pro proměnné veličiny, které mohou nabývat různých hodnot s různou pravděpodobností .

V následujícím Laplaceovi v tomto intuitivním smyslu jasně zachází s $ \ alpha $ jako s náhodnou proměnnou. Z Mémoire sur les probabilités , 1778 ( francouzština, angličtina):

II.

Předpokládáme, že dva hráči $ A $ a $ B $ , z nichž příslušné dovednosti jsou neznámé, hrajte jakoukoli hru a navrhujeme určit pravděpodobnost, že $ A $ vyhraje první $ n $ hry.

Pokud by se otázka týkala pouze jedné hry, je jasné, že $ A $ nebo $ B $ span> musí nutně vyhrát, tyto dvě události jsou stejně pravděpodobné, a to takovým způsobem, že pravděpodobnost první je $ \ frac {1} {2} $ ; odtud podle obvyklého pravidla analýzy šancí dospějeme k závěru, že pravděpodobnost $ A $ vítězství v prvním $ n $ her je $ \ frac {1} {2 ^ n} $ . Tento důsledek bude přesný, pokud pravděpodobnost $ \ frac {1} {2} $ byla založena na absolutní rovnosti mezi možnostmi dvou událostí, o nichž existuje otázka ; ale rovnost existuje pouze relativně k neznalosti, kterou máme o dovednostech dvou hráčů, a tato rovnost nebrání tomu, aby jeden byl schopen být mnohem silnější než druhý. Předpokládáme tedy, že $ \ frac {1+ \ alpha} {2} $ představuje pravděpodobnost, že nejsilnější hráč vyhraje hru, a $ \ frac {1- \ alpha} {2} $ ten z nejslabších; pojmenováním $ P $ pravděpodobnost, že $ A $ vyhraje první $ n $ hry, budeme mít $$ P = \ frac {1} {2 ^ n} (1+ \ alpha) ^ n \ quad \ text {or} \ quad P = \ frac {1} {2 ^ n} (1- \ alpha) ^ n, $$ podle $ A $ span> bude nejsilnější nebo nejslabší: nyní, protože nemáme důvod předpokládat spíše jeden než druhý, je jasné, že abychom měli skutečnou hodnotu $ P $ , musíme vzít průměr součtu dvou předchozích hodnot, což dává $$ P = \ frac {1} {2 ^ {n + 1}} [(1+ \ alpha) ^ n + (1- \ alpha) ^ n]. $$

[...]

Nyní, pokud bychom znali limit a zákon možnosti hodnot $ \ alpha $ [rozdělení pravděpodobnosti $ \ alpha $ ], není nic jednoduššího, než tento problém přesně vyřešit; protože pokud pojmenujeme $ q $ tento limit a pokud budeme reprezentovat $ \ psi (\ alpha) $ span > pravděpodobnost [hustota] $ \ alpha $ , nejprve vidíme, že $ \ alpha $ má nutně spadnout mezi $ 0 $ a $ q $ , funkce $ \ psi (\ alpha) $ musí být takové, abychom měli $$ \ int d \ alpha \ psi (\ alpha) = 1, $$ integrál převzatý z $ \ alpha = 0 $ do $ \ alpha = q $ . Znásobíme tedy $ d \ alpha \ psi (\ alpha) $ pravděpodobnosti, které předcházejí, a integrací těchto produktů z $ \ alpha = 0 $ do $ \ alpha = q $ , budeme mít hledané pravděpodobnosti; tímto způsobem najdeme pro hodnotu $ P $ v článku II, $$ P = \ int d \ alpha \ psi (\ alpha) \ frac {1} {2 ^ {n + 1}} [(1+ \ alpha) ^ n + (1- \ alpha) ^ n]. $$

Další příklady takových náhodných proměnných najdete ve stejném článku. Také Čebyšev má náhodné proměnné tohoto typu.